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イラストレーターで正確な放物線を作図する方法

テキストや模試を作る仕事には印刷屋さんから戻ってきた原稿を何度も校正するという過酷で非人間的な業務も含まれます。僕にとっては不毛な会議と偉い人の話の次くらいに嫌なことなのですがこれも仕事なので仕方がありません。何かのプリントの裏紙に手書きの文字で書きなぐられた、まだハムラビ法典の方が読みやすいんじゃないかと思えるほどの解読不能文字を、毎回印刷屋が見事に文字におこしてくれるのを見るたびにプロの仕事の素晴らしさをつくづく感じてしまうのですが、ただひとつ、気になってならないことがあります。高校数学の挿絵で頻繁に登場する放物線や3次関数のグラフ。戻ってきた原稿を見て思わず笑ってしまうくらいとんでもない代物が印刷されていることがあるのです(下図)。

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長く数学に関わっていると正しい放物線や3次関数を見分ける微妙な感覚がついてきます。そうなるとこういう変なのをみると首の内側がむずむずしてたまらなくなります。それっぽいんだけどなんか違うよー。ドラえもんとうまい棒の変なキャラくらい違うよー。実のところ、こういう「とんでもグラフ」は出版されている本でもたまに見かけることがありますね。

印刷屋とは言え数学のプロフェッショナルではありませんので、図をおこす時には基本的には手書きの図を見ながらそれっぽくなるようにトレースしているのでしょう。この辺りは毎回涙ぐましい苦労の跡ががうかがえます。でも、そもそも原稿に書いてある図がいい加減なのですから、それをなぞっていけばそのいい加減がそっくりそのままコピーされるのは自明の理。まあ、これについては職務に忠実な印刷屋を責めるのは酷というものですね。

そもそもIllustratorのような高機能なソフトに放物線のような基本図形を簡単に作図する機能がないというのは大きな問題ではないかと思います。放物線なんて左右対称なお椀形の曲線を描けばいいんだから簡単じゃないかと思っている人も多いようですがそれは大きな勘違いですよ。すべての放物線は縦横に伸び縮みさせることでぴったりと重ねることができるという意味において、数学的に「正しい」放物線はたった一つ。ですから正しい放物線の描き方もたった一つしかありません。繁華街で弾き語りをしているほとんどの長渕剛が偽者であるように、世の中の出版物を席巻しているほとんどの「放物線のような曲線」は偽物と考えて間違いないでしょう。

という訳で今日は珍しく時間に余裕ができたので、表題にあるように「イラストレーターで正しい放物線を描く方法」を考えてみました。正確にはほとんどのイラストソフトで採用されている「ベジェ曲線」を用いて放物線を描く方法です。今日初めて勉強したのですが、ベジェ曲線の数学的背景って意外とシンプルなんですね。非常に面白い。理屈が分かればこっちのもので後はMuPADなどの助けも借りて、放物線と3次曲線を正確に作図する方法を見つけることができました。以下の方法でできるのは「それっぽい」というレベルではなく数学的に完全に正確な曲線です。

作図する前に「グリッド」を表示し、ポインターを「グリッドにスナップ」するようにしておくといいです。どちらも3×3のグリッドを使って作図します。下図において制御点がA、B、C、Dになるようにベジェ曲線を作図します。イラストレーターではペンツールでまずA点からB点にドラッグし、その次にD点からC'点にドラッグすることになります。 このようにしてできるのは左がxの2乗の、右がxの3乗のx座標が0から1の間の曲線です。ほんの少しの操作の違いで描き分けられるのが面白いですね。これを雛型とします。

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放物線の場合、できた雛型は放物線の右半分ですので、それを左右反転してコピーし連結させればOKです。が、こんな裏技もあります。イラストレーターの「シアー」というツールを使って先程の半分の放物線を下図のように45度歪めると、、なんと左右対称な放物線になります(数学的にいえばシアーはxの1次の項を加えることに相当します)。後は先に書いたとおりこれを左右に伸び縮み、あるいは上下反転させることでどのような放物線も作ることができます。



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3次関数の場合はもう少し手間が必要です。3次関数の形状によってシアーの方向を変える必要があります。シアーする角度は下では30度としましたが、この大きさは何度でも構いません(これもxの1次の項を加えていることに相当しています)。

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後はこれをコピーし回転させて連結させれば下のようになります(3次関数は点対称なグラフです)。こちらも左右の伸縮および上下反転によりどのような3次関数のグラフにも重ねることができます。

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調子に乗って他の数学曲線はどうなのかと考えてみたのですが、ベジェ曲線が3次多項式であらわされるパラメータ曲線だということから、4次以上の曲線やサインカーブといったものを正確に作図することは原理的にはできないことになります。今日気づいた面白い事実は最も単純な図形の一つである「円」も実はベジェ曲線によって「近似されている図形」に過ぎないということ(円を有限次数の多項式でパラメータ表示することは不可能)。ベジェ曲線の持つ意外なジレンマです。

今日一日の勉強でも書きたいことは山ほどでてきますが、これ以上やると数学アレルギーの人が発作を起こしてしまう可能性があるのでここらでやめておくことにしましょう。数学に詳しい皆さん、もし間違っていることがあればぜひフォローお願いします。そして、印刷屋の皆さん、もしこれを見るようなことがあれば次からは是非よろしくお願いします。

今日の一言
完璧な円なんてものは存在しない。完璧な絶望が存在しないようにね。

春樹風に

Comments:2

つっきー 2008-10-20 (月) 01:39

「ベジエ曲線」、大学院の講義でやりました。
レポートを書くために、いろいろ調べた記憶…。

残念ながら単位は落としましたが(;´ー`)

hiro-s 2010-02-05 (金) 03:26

こちらの記事のおかげで、数学の解説用の図版が非常に美しくなりました。大変感謝しております。

放物線は、世間の思っている以上に尖っていますよね。

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