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選択公理

5組のクラスからなる学年があったとして、各クラスから1名ずつ代表を選出して代表委員会(構成人数5人)を作ることを考えよう。もちろんどのクラスにも生徒は最低1人はいるものとする。そのような委員会を作ることはできるだろうか。もちろん可能だ。

上の話はクラスの数が10組になっても、あるいは10億組になっても変わらない。ではここで一気に話を飛躍させて、無限組のクラスからなる学年を考えよう。このときも各クラスから代表を1人ずつ選出して代表委員会(構成人数無限!)を作ることは可能であろうか。それが可能だということを主張するのが選択公理(axiom of choice)である。

できるのが当たり前に思えるし、昔の数学者もこのことになんの疑いも持っていなかった。ところが20世紀になって数学界を揺るがす事件が起こる。この選択公理から「1つの球を分割して組み直すと同じ大きさの球が2つできる」という僕らの直観にはとうてい受け入れがたい事実が証明されてしまったのだ(バナッハ=タルスキーのパラドックス)。

このようなとき選ぶべき道は2つ。「選択公理」を否定するか、証明された事実を受け入れるかである。ところがこの時点で「選択公理」はあまりに深く数学の根幹にしみ込んでしまっており、これを否定することはその上に積まれたすべての建物の崩壊を意味する。そのダメージは計り知れないものだ。かといって証明された事実は認めるには余りに奇妙すぎる。まさに行くも地獄、戻るも地獄の状況に直面したわけだ。

これに関してはさまざまな解釈、打開策が考えられたが、実は現在も誰もが納得するすっきりとした結論が出ているわけではない。選択公理はいまなお現代数学ののどの奥に小骨のように突き刺さっている。