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公理

ある法則は、より単純な法則の上に成り立っている。その単純な法則も、さらに単純な法則の上に成り立っている。土台に、そのまた土台に、どんどん掘り下げていくと最終的にはどんな法則からも証明することはできない、つまり「当たり前のこと」として認めざるを得ない事実にぶつかる。これを「公理」と呼ぶ。数学とはいくつかの「公理」の上に積み重ねられた構造物なのだ。

「公理」は必要以上にたくさんあってはならないし、またそこから組みあがる体系に矛盾を生じさせるものであってもいけない。しかし何を公理として数学の体系を作るかは基本的に数学者の自由でもある。実際、既存の数学体系において公理とみなされているものを否定したり、別のものと入れ替えたりして矛盾のない新しい数学体系が作れることがある。ユークリッド幾何に対する非ユークリッド幾何はそのような例の1つであろう。

使用例
「問題: ~を証明せよ」
「答え: ただいま私は~を公理として採用しました。よって示せた」